【arccosxdx的积分怎么求】在微积分中，求解形如 $\int \arccos x\, dx$ 的不定积分是一个常见的问题。由于 $\arccos x$ 是一个反三角函数，直接积分较为复杂，通常需要借助分部积分法来完成。下面将对这一积分过程进行详细总结，并通过表格形式展示关键步骤和结果。
一、积分方法概述
对于 $\int \arccos x\, dx$，我们可以使用分部积分法（Integration by Parts）：
设 $u = \arccos x$，则 $du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$
设 $dv = dx$，则 $v = x$
根据分部积分公式：
$$
\int u\, dv = uv - \int v\, du
$$
代入得：
$$
\int \arccos x\, dx = x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来只需计算 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$，这可以通过换元法或观察法解决。
二、积分结果总结
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设 $u = \arccos x$, $dv = dx$ | 分部积分法的初始设定 |
| 2 | $du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, $v = x$ | 求导与积分 |
| 3 | $\int \arccos x\, dx = x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ | 应用分部积分公式 |
| 4 | 令 $t = 1 - x^2$, 则 $dt = -2x dx$ | 换元法处理第二项积分 |
| 5 | $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C$ | 完成换元并积分 |
| 6 | 最终结果为：$\int \arccos x\, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$ | 合并所有部分 |
三、最终答案
$$
\int \arccos x\, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
$$
其中，$C$ 为积分常数。
四、注意事项
- 该积分适用于定义域 $[-1, 1]$ 内的所有实数。
- 若需计算定积分，可将上下限代入上述表达式进行计算。
- 在实际应用中，也可通过数值积分方法进行近似求解。
通过以上分析可以看出，虽然 $\arccos x$ 看似复杂，但借助分部积分和换元法，可以有效地求出其不定积分。掌握这些技巧有助于解决更多类似的积分问题。
